Jika \( f(x) = \frac{bx-a}{x+b} \) memenuhi \( f(1) = 1 \) dan \( f’(1) = 2 \), maka \( f(2) = \cdots \)
- -5
- -21
- -1
- 2
- 5
(SNMPTN 2008)
Pembahasan:
Dari \( f(1) = 1 \) kita peroleh:
\begin{aligned} f(x) &= \frac{bx-a}{x+b} \Leftrightarrow f(1) = \frac{b(1)-a}{1+b} \\[8pt] 1 &= \frac{b-a}{1+b} \Leftrightarrow 1+b = b-a \\[8pt] a &= -1 \\[8pt] f(x) &= \frac{bx-a}{x+b} \Leftrightarrow f(x) = \frac{bx+1}{x+b} \end{aligned}
Selanjutnya, kita cari turunan dari fungsi \( f(x) \). Ingat bahwa untuk \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), maka turunannya, yakni:
\begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\[8pt] f'(x) &= \frac{b(x+b)-(bx+1)(1)}{(x+b)^2} \\[8pt] &= \frac{bx+b^2-bx-1}{(x+b)^2} \\[8pt] &= \frac{b^2-1}{(x+b)^2} \\[8pt] f'(1) &= \frac{b^2-1}{(1+b)^2} \Leftrightarrow 2 = \frac{(b+1)(b-1)}{(b+1)^2} \\[8pt] 2 &= \frac{b-1}{b+1} \Leftrightarrow 2(b+1) = b-1 \\[8pt] 2b+2 &= b-1 \Leftrightarrow b = -3 \end{aligned}
Dari hasil di atas, kita peroleh \( a = -1 \) dan \(b = -3) sehingga:
\begin{aligned} f(x) = \frac{bx-a}{x+b} \Leftrightarrow f(x) &= \frac{-3x+1}{x-3} \\[8pt] f(2) &= \frac{-3(2)+1}{2-3} \\[8pt] &= \frac{-5}{-1} = 5 \end{aligned}
Jawaban E.